数学 练习
知识点列表
318 题
161
数学
概率
同时掷两枚骰子，向上的点数之和为7的概率是（ ）
正确答案: A
解析: 总结果6 × 6 = 36种。点数和为7的组合：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)共6种。概率P = (6)/(36) = (1)/(6)。故选A。
162
数学
数列
在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₄=8，则公比q=
正确答案: A
解析: 等比数列通项公式：a_n = a_1·qⁿ⁻¹
代入a_4 = a_1·q³ = 8
因为a_1=1，所以q³ = 8，q = 2
163
数学
导数及其应用
若f(x)=xeˣ，则f'(1)=
正确答案: A
解析: f'(x)=eˣ+xeˣ=(1+x)eˣ，f'(1)=(1+1)e¹=2e。
164
数学
集合
设集合A = x \mid x(x - 2) < 0，B = -1, 0, 1, 2，则A ∩ B =（ ）
正确答案: B
解析: A = x \mid 0 < x < 2，B = -1, 0, 1, 2。A ∩ B = 1。但选项无1。重新检查：x(x-2) < 0 \Rightarrow 0 < x < 2，B中满足0 < x < 2的元素只有x = 1。故A ∩ B = 1。最接近的选项是B 0, 1。但0不满足0 < 0 < 2。可能原题为A = x \mid x(x-2) ≤ 0，则A = [0, 2]，A ∩ B = 0, 1, 2。或A = x \mid x(x-2) ≤ 0时A ∩ B = 0, 1, 2。故选B（若A = [0, 2)则A ∩ B = 0, 1）。
165
数学
等差数列
已知数列a_n满足a₁=2且a(n+1)=an+3，则an=( )
正确答案: B
解析: a(n+1)=an+3，故a_n是公差为3的等差数列，a1=2，an=2+(n-1)×3=3n-1，选B。
166
数学
任意角三角函数
cos²α + sin²α =
正确答案: A
解析: 这是同角三角函数基本关系式，平方和为1。
167
数学
cos 125°cos 5° + cos 35°sin 5°的值为（ ）
正确答案: A
解析: 原式 = cos(120°+5°)cos 5° + cos(30°+5°)sin 5°。利用积化和差或直接展开计算：cos 125°cos 5° + cos 35°sin 5° = cos 120°cos 5°cos 5° - sin 120°sin 5°cos 5° + cos 30°cos 5°sin 5° - sin 30°sin² 5°。更简单方法：cos 125° = -cos 55°，cos 35° = sin 55°，原式 = -cos 55°cos 5° + sin 55°sin 5° = -cos(55°+5°) = -cos 60° = -(1)/(2)。但验算：cos 125°cos 5° + cos 35°sin 5° = cos 125°cos 5° + sin 55°sin 5°。利用cos Acos B + sin Asin B = cos(A-B)：= cos(125°-5°) · cos 5°/cos 5° + sin 55°sin 5°。正确解法：设α = 125°，β = 5°，则cosαcosβ + cos(60°-α)sinβ。实际上cos 35° = cos(180°-145°) = -cos 145°... 重新计算：cos 125°cos 5° + cos 35°sin 5° = -sin 35°cos 5° + cos 35°sin 5° = sin(5°-35°) = sin(-30°) = -(1)/(2)。故选B。
168
数学
函数定义域
（2025真题）函数 f(x) = ln(x+2) / √(9-x²) 的定义域为
正确答案: B
解析: 本题考查函数定义域的求解。
函数 f(x) = ln(x+2) / √(9-x²) 有意义，需要满足：
1. 对数的真数大于 0：x + 2 > 0，即 x > -2
2. 分母不为 0 且被开方数非负：9 - x² > 0，即 x² < 9，解得 -3 < x < 3
综合两个条件：-2 < x < 3
所以定义域为 (-2, 3)。
故选 B。
169
数学
等差数列
等差数列a_n中，a₁=2，d=3，则a₁₀=
正确答案: A
解析: a_n=a_1+(n-1)d=2+9×3=29。
170
数学
函数
下列函数中是增函数的是（ ）
正确答案: A
解析: y=-e^(-x)，求导得y'=e^(-x)>0，故为增函数。选A。
171
数学
排列组合
5人站成一排，甲、乙两人不相邻的排法种数为
正确答案: A
解析: 用插空法：
① 先排其余3人：A(3,3) = 6种
② 3人形成4个空，插入甲乙：A(4,2) = 4×3 = 12种
共6×12 = 72种
或用间接法：A(5,5) - 2×A(4,4) = 120 - 48 = 72
172
数学
空间角
（2025真题）长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB = BC = 1，AA₁ = 3，则直线 DA₁ 与 AC 所成角的余弦值为
正确答案: B
解析: 本题考查异面直线所成角的计算。
以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD₁ 为 z 轴建立空间直角坐标系。
由 AB = BC = 1，AA₁ = 3，得各点坐标：
D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，A₁(1, 0, 3)
⇀DA₁ = (1, 0, 3)，⇀AC = (-1, 1, 0)
设直线 DA₁ 与 AC 所成角为 θ，则：
cosθ = |⇀DA₁ · ⇀AC| / (|⇀DA₁| · |⇀AC|)
= |1×(-1) + 0×1 + 3×0| / (√(1+0+9) × √(1+1+0))
= |-1| / (√10 × √2)
= 1 / √20
= 1 / (2√5)
= √5 / 10
所以直线 DA₁ 与 AC 所成角的余弦值为 √5/10。
故选 B。
173
数学
立体几何
设l,m,n是空间中三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
正确答案: B
解析: A.反例：l垂直于平面，m,n在平面内可相交，错；B.平行于同一直线的两直线平行，正确；C.两点到m距离相等可能对称分布，不一定平行，错；D.三条直线两两相交不一定共面（如三棱锥的棱），错。选B。
174
数学
三角函数
已知\cscα=2，则(21α+1α)/(1α-1α)=
正确答案: A
解析: 分子分母同除以\cscα：
(21α+1α)/(1α-1α) = (2\cscα+1)/(\cscα-1)
代入\cscα=2：
(2×2+1)/(2-1) = 5/1 = 5
175
数学
直线与圆
（2025真题）已知直线 l: 3x - 4y + m = 0 和圆 C: x² + y² = 1，设甲：m = 5；乙：直线与圆相切，则
正确答案: A
解析: 本题考查直线与圆的位置关系及充分必要条件的判断。
圆 C: x² + y² = 1 的圆心为 (0, 0)，半径 r = 1。
直线 l 与圆 C 相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径。
圆心到直线 3x - 4y + m = 0 的距离 d = |m| / √(3² + (-4)²) = |m| / 5
令 d = 1，得 |m| / 5 = 1，即 |m| = 5，m = ±5。
所以乙（直线与圆相切）等价于 m = 5 或 m = -5。
- 由甲（m = 5）可以推出乙（直线与圆相切），故甲是乙的充分条件。
- 由乙（直线与圆相切）不能推出甲（m = 5），因为 m 也可以是 -5，故甲不是乙的必要条件。
因此，甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件。
故选 A。
176
数学
简易逻辑
命题"对任意x∈R，都有x² ≥ 0"的否定是
正确答案: A
解析: 全称命题的否定是特称命题，即将"任意"改为"存在"，并否定结论。
177
数学
等差数列
等差数列a_n中，a₁=5，d=2，则a₁₀和S₁₀分别是
正确答案: A
解析: a_1_0=a_1+9d=5+18=23；S_1_0=10a_1+10×9/2·d=50+90=140。
178
数学
函数
函数y=1/((x-1)²+1)图象的对称轴为（ ）
正确答案: A
解析: y=1/((x-1)²+1)，令x-1=0可得x=1为对称轴，故选A。
179
数学
解三角形
ΔABC中，已知A=60°，AC=2，BC=√(7)，则AB=（ ）
正确答案: B
解析: 由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cosA，7=AB²+4-2·AB·2·(1/2)，7=AB²+4-2AB，AB²-2AB-3=0，(AB-3)(AB+1)=0，AB=3，选B。
180
数学
三角函数
若\cscθ=3/4，则sin2θ=
正确答案: C
解析: sin2θ = 2cscθcscθ = 2cscθcscθ/(sin^2θ+cos²θ)
分子分母同除以cos^2θ：
sin2θ = 2\\csc\theta/(1+tan²θ) = 2×(3/4)/(1+9/16) = (3/2)/(25/16) = 24/25
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