数学 · 空间角 练习
知识点列表
1 题
1
数学
空间角
（2025真题）长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB = BC = 1，AA₁ = 3，则直线 DA₁ 与 AC 所成角的余弦值为
正确答案: B
解析: 本题考查异面直线所成角的计算。
以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD₁ 为 z 轴建立空间直角坐标系。
由 AB = BC = 1，AA₁ = 3，得各点坐标：
D(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，C(0, 1, 0)，A₁(1, 0, 3)
⇀DA₁ = (1, 0, 3)，⇀AC = (-1, 1, 0)
设直线 DA₁ 与 AC 所成角为 θ，则：
cosθ = |⇀DA₁ · ⇀AC| / (|⇀DA₁| · |⇀AC|)
= |1×(-1) + 0×1 + 3×0| / (√(1+0+9) × √(1+1+0))
= |-1| / (√10 × √2)
= 1 / √20
= 1 / (2√5)
= √5 / 10
所以直线 DA₁ 与 AC 所成角的余弦值为 √5/10。
故选 B。