数学 · 直线与圆 练习

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1 数学 直线与圆
过点(1, 2)且与直线2x-y+1=0平行的直线方程为
正确答案: A
解析: 直线2x-y+1=0的斜率k=2（化为y=2x+1） 平行直线斜率相同，设所求直线为y=2x+b 代入点(1, 2)：2 = 2×1 + b，得b=0 故直线方程为y=2x，即2x-y=0
2 数学 直线与圆
圆x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0的圆心和半径分别为（ ）
正确答案: A
解析: 配方：(x-2)² + (y+1)² = 4 + 1 + 4 = 9。圆心(2, -1)，半径r = 3。故选A。
3 数学 直线与圆
点(1,-1)到直线x-2y-8=0的距离是（ ）
正确答案: B
解析: d=|1-2×(-1)-8|/√(1+4)=|1+2-8|/√(5)=5/√(5)=√(5)，选B。
4 数学 直线与圆
若方程x²+y²+4ax-2y+5a=0表示的曲线是圆，则a的取值范围是（ ）
正确答案: C
解析: 方程化为(x+2a)²+(y-1)²=4a²+1-5a。表示圆需4a²+1-5a>0，即(4a-1)(a-1)>0，a<1/4或a>1，选C。
5 数学 直线与圆
已知直线l过圆x²+y²-3y+2=0的圆心，斜率为-1/2，则l的方程为（ ）
正确答案: D
解析: 圆x²+y²-3y+2=0，圆心为(0,3/2)。直线l斜率为-1/2，过点(0,3/2)，方程为y-3/2=-1/2(x-0)，即x+2y-3=0，选D。
6 数学 直线与圆
若直线x+y+m=0与圆x²+y²=2相切，则m=
正确答案: A
解析: 圆心(0,0)，半径r=√(2) 直线与圆相切 ⇔ 圆心到直线距离等于半径 d = |0+0+m|/√(1+1) = |m|/√(2) = √(2) |m| = 2 m = ±2
7 数学 直线与圆
（数模二十二）圆心为(1,2)且过原点的圆的方程为
正确答案: C
解析: 本题考查圆的标准方程。 圆的标准方程为：(x-a)² + (y-b)² = r² 其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。 由题意，圆心为(1,2)，即a=1，b=2。 因为圆过原点(0,0)，所以半径r等于圆心到原点的距离： r = √[(1-0)² + (2-0)²] = √(1+4) = √5 所以r² = 5 圆的方程为：(x-1)² + (y-2)² = 5 故选C。
8 数学 直线与圆
圆x²+y²-2x+4y-4=0的圆心坐标和半径分别为
正确答案: A
解析: 配方：(x²-2x) + (y²+4y) = 4 (x-1)² - 1 + (y+2)² - 4 = 4 (x-1)² + (y+2)² = 9 圆心(1, -2)，半径r=3
9 数学 直线与圆
过点P(2, 3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
正确答案: C
解析: 分两种情况： ①截距为0时，直线过原点，斜率k=3/2，方程为y=(3/2)x，即3x-2y=0 ②截距不为0时，设x/a + y/a = 1，代入(2,3)：2/a + 3/a = 1，5/a = 1，a=5 方程为x/5 + y/5 = 1，即x+y-5=0 综上，直线方程为3x-2y=0或x+y-5=0
10 数学 直线与圆
圆C_{1}: x²+y²=4与圆C_{2}: (x-3)²+y²=9的位置关系是
正确答案: C
解析: C_1(0,0), r_1=2；C_2(3,0), r_2=3 圆心距d = |C_1C_2| = 3 r_1+r_2 = 5，|r_1-r_2| = 1 因为 |r_1-r_2| < d < r_1+r_2（1 < 3 < 5） 所以两圆相交。
11 数学 直线与圆
已知直线l:3x-4y+m=0和圆C:x²+y²=1，设甲:m=5；乙:直线与圆相切，则（ ）
正确答案: A
解析: 圆心(0,0)到直线3x-4y+m=0的距离d=|m|/√(9+16)=|m|/5。相切时d=1，|m|=5，m=±5。甲:m=5能推出相切（充分），但相切不一定m=5（可能m=-5，不必要），选A。
12 数学 直线与圆
（2025真题）已知直线 l: 3x - 4y + m = 0 和圆 C: x² + y² = 1，设甲：m = 5；乙：直线与圆相切，则
正确答案: A
解析: 本题考查直线与圆的位置关系及充分必要条件的判断。 圆 C: x² + y² = 1 的圆心为 (0, 0)，半径 r = 1。 直线 l 与圆 C 相切 ⇔ 圆心到直线的距离等于半径。 圆心到直线 3x - 4y + m = 0 的距离 d = |m| / √(3² + (-4)²) = |m| / 5 令 d = 1，得 |m| / 5 = 1，即 |m| = 5，m = ±5。 所以乙（直线与圆相切）等价于 m = 5 或 m = -5。 - 由甲（m = 5）可以推出乙（直线与圆相切），故甲是乙的充分条件。 - 由乙（直线与圆相切）不能推出甲（m = 5），因为 m 也可以是 -5，故甲不是乙的必要条件。 因此，甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件。 故选 A。