数学 · 椭圆 练习
知识点列表
6 题
1
数学
椭圆
若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为（ ）
正确答案: B
解析: 焦点三等分长轴即2a=3×2c=6c，则离心率e=c/a=2c/6c=1/3，故选B。
2
数学
椭圆
（2025真题）已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）的离心率为 √2/2，F₁, F₂ 分别为 C 左右焦点，点 P 在 C 上。若 |PF₁| = 5|PF₂|，则 cos∠F₁PF₂ =
正确答案: B
解析: 本题考查椭圆的定义及余弦定理的应用。
由椭圆定义，|PF₁| + |PF₂| = 2a
又 |PF₁| = 5|PF₂|，所以 5|PF₂| + |PF₂| = 2a，即 6|PF₂| = 2a
得 |PF₂| = a/3，|PF₁| = 5a/3
离心率 e = c/a = √2/2，所以 c = (√2/2)a，|F₁F₂| = 2c = √2 a
在 △F₁PF₂ 中，由余弦定理：
cos∠F₁PF₂ = (|PF₁|² + |PF₂|² - |F₁F₂|²) / (2 · |PF₁| · |PF₂|)
= [(25a²/9) + (a²/9) - 2a²] / (2 × 5a/3 × a/3)
= [(26a²/9) - (18a²/9)] / (10a²/9)
= (8a²/9) / (10a²/9)
= 8/10
= 4/5
所以 cos∠F₁PF₂ = 4/5。
故选 B。
3
数学
椭圆
(18分) 已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√(6)/3，焦距为4。(1)求C的方程；(2)过点(-3,0)且斜率为k的直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，当AO⊥BO时，求k的值。
参考答案: (1)x²/6+y²/2=1；(2)k=±√(5)/5
解析: (1)e=c/a=√(6)/3，2c=4，c=2，a=2√(6)/√(6)... c/a=√(6)/3，a=2×3/√(6)=√(6)，b²=a²-c²=6-4=2，方程x²/6+y²/2=1。(2)直线y=k(x+3)代入椭圆方程，利用AO⊥BO即x_1x_2+y_1y_2=0求解，得k²=1/5，k=±√(5)/5。
4
数学
椭圆
椭圆x²/9+y²/4=1的焦距是
正确答案: A
解析: a²=9，b²=4，c²=a²-b²=5，c=√(5)，焦距2c=2√(5)。
5
数学
椭圆
（2025真题·14题第2问）已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）的离心率为 √2/2，点 P 在第一象限，直线 OP 的斜率为 √2/2，|PF₁| = 3，则 C 的方程为
正确答案: A
解析: 本题考查椭圆方程的求解。
已知离心率 e = c/a = √2/2，所以 c = (√2/2)a，b² = a² - c² = a² - a²/2 = a²/2。
椭圆方程可写为 x²/a² + 2y²/a² = 1，即 x² + 2y² = a²。
设 P(x, y)，x > 0, y > 0。
直线 OP 的斜率为 y/x = √2/2，即 y = (√2/2)x。
代入椭圆方程：x² + 2 × (x²/2) = a²，即 x² + x² = a²，x² = a²/2，x = a/√2（取正）
y = (√2/2) × (a/√2) = a/2
所以 P(a/√2, a/2)。
F₁(-c, 0) = (-(√2/2)a, 0)
|PF₁| = √[(a/√2 + √2 a/2)² + (a/2)²]
= √[(a/√2 + a/√2)² + a²/4]
= √[(2a/√2)² + a²/4]
= √[(√2 a)² + a²/4]
= √[2a² + a²/4]
= √[9a²/4]
= 3a/2
由 |PF₁| = 3，得 3a/2 = 3，a = 2。
所以 a² = 4，b² = a²/2 = 2。
椭圆 C 的方程为 x²/4 + y²/2 = 1。
故选 A。
6
数学
椭圆
椭圆x²/25+y²/16=1的离心率是
正确答案: A
解析: a²=25，b²=16，c²=a²-b²=9，c=3，e=c/a=3/5。