数学 · 抛物线 练习
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数学
抛物线
（2025真题）已知 F 是抛物线 y² = 4x 的焦点，P, Q 是直线 2x - 3y + 4 = 0 与 C 的两个交点，则 ⇀PF · ⇀QF =
正确答案: C
解析: 本题考查抛物线与直线的位置关系及向量数量积。
抛物线 y² = 4x 的焦点 F 为 (1, 0)。
设 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
⇀PF = (1 - x₁, -y₁)，⇀QF = (1 - x₂, -y₂)
⇀PF · ⇀QF = (1-x₁)(1-x₂) + y₁y₂ = 1 - (x₁+x₂) + x₁x₂ + y₁y₂
由 { y² = 4x, 2x - 3y + 4 = 0 }
得 2x = 3y - 4，x = (3y - 4)/2
代入抛物线方程：y² = 4 × (3y-4)/2 = 2(3y-4) = 6y - 8
即 y² - 6y + 8 = 0
解得 y₁ = 2, y₂ = 4，y₁y₂ = 8
x₁ = y₁²/4 = 1, x₂ = y₂²/4 = 4，x₁+x₂ = 5, x₁x₂ = 4
所以 ⇀PF · ⇀QF = 1 - 5 + 4 + 8 = 8
故选 C。