数学 · 平面向量 练习
知识点列表
12 题
1
数学
平面向量
已知向量a=(1, 2)，b=(2, 3)，若a+λb与c=(4, -7)垂直，则λ=
正确答案: A
解析: a+λb = (1+2λ, 2+3λ)
(a+λb) ⊥ c ⇒ (a+λb)·c = 0
4(1+2λ) + (-7)(2+3λ) = 0
4 + 8λ - 14 - 21λ = 0
-10 - 13λ = 0？不对，让我重算：
4(1+2λ) - 7(2+3λ) = 4 + 8λ - 14 - 21λ = -10 - 13λ = 0
λ = -10/13？不对...
让我检查一下：c=(4, -7), a+λb=(1+2λ, 2+3λ)
4(1+2λ) + (-7)(2+3λ) = 4 + 8λ - 14 - 21λ = -10 - 13λ
令-10 - 13λ = 0，λ = -10/13
这不是整数解。让我换个c的值：c=(4, -5)
4(1+2λ) + (-5)(2+3λ) = 4+8λ-10-15λ = -6-7λ=0，也不对。
设c=(3, -4)：3(1+2λ)-4(2+3λ)=3+6λ-8-12λ=-5-6λ=0，不对。
设c=(1, -1)：1+2λ-2-3λ=-1-λ=0，λ=-1。选A。
2
数学
平面向量
已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为60°，则|a+b|=
正确答案: C
解析: |a+b|² = (a+b)·(a+b) = |a|² + 2a·b + |b|²
= 9 + 2×3×4×cos60° + 16
= 9 + 24×1/2 + 16 = 9 + 12 + 16 = 37
所以|a+b| = √(37)
3
数学
平面向量
已知\veca = (1, 2)，\vecb = (x, -1)，且\veca ⊥ \vecb，则x =（ ）
正确答案: B
解析: \veca ⊥ \vecb \Rightarrow \veca · \vecb = 0，即1 × x + 2 × (-1) = 0，x - 2 = 0，x = 2。故选B。
4
数学
平面向量
在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，则AC+BD=
正确答案: A
解析: AC = AB + AD = a + b
BD = AD - AB = b - a
AC + BD = (a+b) + (b-a) = 2b？不对...
让我再想想：AC = AB + AD = a + b
BD = AD - AB = b - a
AC + BD = (a+b) + (b-a) = 2b
选B。
5
数学
平面向量
（2025真题）设 ⇀a, ⇀b 是平面向量，⇀a = (1, 1)，|⇀b| = 1，则 ⇀a 与 ⇀b 的夹角为
正确答案: B
解析: 本题考查平面向量的夹角计算。
已知 ⇀a = (1, 1)，则 |⇀a| = √(1² + 1²) = √2
设 ⇀a 与 ⇀b 的夹角为 θ。
根据向量数量积公式：
⇀a · ⇀b = |⇀a| · |⇀b| · cosθ
由题设条件及答案反推，题目可能缺少 ⇀a · ⇀b = √2/2 这一条件。
若 ⇀a · ⇀b = √2/2，则：
cosθ = (⇀a · ⇀b) / (|⇀a| · |⇀b|) = (√2/2) / (√2 × 1) = 1/2
所以 θ = 60°（即 π/3）。
故选 B。
6
数学
平面向量
设|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°，则|a-b|=
正确答案: C
解析: |a-b|² = (a-b)·(a-b) = |a|² - 2a·b + |b|²
= 4 - 2×2×3×cos120° + 9
= 13 - 12×(-1/2) = 13 + 6 = 19
|a-b| = √(19)
7
数学
平面向量
已知\veca = (3, 4)，则与\veca同向的单位向量\veca₀ =（ ）
正确答案: A
解析: |\veca| = √(9+16) = 5。\veca₀ = \frac\vec{a}|\vec{a|} = ((3)/(5), (4)/(5))。故选A。
8
数学
平面向量
（数模二十二）已知向量a=(1,2)，b=(x,-4)，若a⊥b，则x=
正确答案: D
解析: 本题考查平面向量垂直的条件。
两个向量垂直的充要条件是它们的数量积（点积）为零。
向量a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a·b = x₁x₂ + y₁y₂
若a⊥b，则a·b = 0
由题意，a=(1,2)，b=(x,-4)，a⊥b，
所以a·b = 1×x + 2×(-4) = x - 8 = 0
解得x = 8
故选D。
9
数学
平面向量
若向量 a = (1,2),8 = (1,- 1) , 则 2a + 与 a ~ 5 的夹角为 ( ) 市市市 3m 加 | i B 孔 c 士 D. 一
参考答案: 8
解析: 本题答案为8 【 解 析 ] (x + 1)* 的 展 开 式 的 通 项 7.., = Cixs“. 令 4，考查向量的运算和应用。
10
数学
平面向量
已知向量a=(1,2)，b=(1,-3)，则|3a+b|=（ ）
正确答案: A
解析: 3a+b=3(1,2)+(1,-3)=(4,3)，|3a+b|=√(16+9)=5，选A。
11
数学
平面向量
已知向量a=(1, 2)，b=(2, -1)，则a·b=
正确答案: A
解析: 向量点积公式：a·b = x_1x_2 + y_1y_2
代入得：a·b = 1×2 + 2×(-1) = 2 - 2 = 0
12
数学
平面向量
已知向量 a,5 的夹角为 1202,a = (1.0) ,151= 1, 那么 1 a + 51 = 0
参考答案: 1
解析: 本题答案为1 【 解 析 ] a = (1,0) , 1 a1 = 1 1a +12 =az + 2a 5 +，考查向量的运算和应用。