数学 · 导数应用 练习
知识点列表
2 题
1
数学
导数应用
（2025真题）已知函数 f(x) = xe^(-ax)，曲线 y = f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线在 x 轴上的截距为 2，则 a =
正确答案: B
解析: 本题考查导数的几何意义——切线方程。
f(x) = xe^(-ax)
f'(x) = e^(-ax) + x · (-a)e^(-ax) = e^(-ax)(1 - ax)
在 x = 1 处：
f(1) = 1 · e^(-a) = e^(-a)
f'(1) = e^(-a)(1 - a)
切线方程为：y - f(1) = f'(1)(x - 1)
即 y - e^(-a) = e^(-a)(1 - a)(x - 1)
令 y = 0，求切线在 x 轴上的截距：
-e^(-a) = e^(-a)(1 - a)(x - 1)
两边除以 e^(-a)（e^(-a) ≠ 0）：
-1 = (1 - a)(x - 1)
x - 1 = -1/(1 - a) = 1/(a - 1)
x = 1 + 1/(a - 1) = a/(a - 1)
由题意，截距为 2，即 a/(a - 1) = 2
a = 2(a - 1)
a = 2a - 2
a = 2
故选 B。
2
数学
导数应用
（2025真题·15题第2问）已知函数 f(x) = xe^(-2x)，则 f(x) 在区间 [0, 1] 上的最大值为
正确答案: A
解析: 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值。
由前一问知 a = 2，所以 f(x) = xe^(-2x)。
f'(x) = e^(-2x) + x · (-2)e^(-2x) = e^(-2x)(1 - 2x)
令 f'(x) = 0，因为 e^(-2x) > 0 恒成立，所以 1 - 2x = 0，x = 1/2。
x = 1/2 是 f(x) 在 [0, 1] 内的唯一驻点。
计算 f(x) 在关键点的值：
- f(0) = 0 × e⁰ = 0
- f(1/2) = (1/2) × e^(-1) = 1/(2e)
- f(1) = 1 × e⁻² = 1/e²
比较得 f(1/2) = 1/(2e) 最大。
所以 f(x) 在 [0, 1] 上的最大值为 1/(2e)。
故选 A。