数学 · 导数及其应用 练习
知识点列表
10 题
1
数学
导数及其应用
下列函数中，既是增函数又是奇函数的是( )
正确答案: A
解析: y=3x的导数y'=3>0为增函数，且f(-x)=-3x=-f(x)为奇函数，选A。y=5/x在定义域内不单调；y=ln x定义域x>0不是奇函数；y=-x³+2x的导数y'=-3x²+2有正有负不是增函数。
2
数学
导数及其应用
曲线y = x²在点(1, 1)处的切线方程为（ ）
正确答案: A
解析: ' = 2x = 1 = 2 - 1 = 2(x - 1) = 2x - 1
3
数学
导数及其应用
（数模二十二）函数f(x)=x³-3x²+1在点x=1处的切线斜率为
正确答案: A
解析: 本题考查导数的几何意义。
函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率。
f(x) = x³ - 3x² + 1
f'(x) = 3x² - 6x
在x=1处的导数为：
f'(1) = 3×1² - 6×1 = 3 - 6 = -3
所以切线斜率为-3。
故选A。
4
数学
导数及其应用
函数f(x)=ln x在x=1处的切线斜率是
正确答案: A
解析: f'(x)=1/x，f'(1)=1，所以切线斜率为1。
5
数学
导数及其应用
若f(x)=xeˣ，则f'(1)=
正确答案: A
解析: f'(x)=eˣ+xeˣ=(1+x)eˣ，f'(1)=(1+1)e¹=2e。
6
数学
导数及其应用
下列函数中，为增函数的是（ ）
正确答案: C
解析: y=e^x/2的导数y'=e^x/2>0恒成立，在R上单调递增，选C。y=-ln(x+1)递减；y=x²-1在(-∞,0)递减；y=x-1虽然有y'=1>0但答案为C，可能选项D有误。
7
数学
导数及其应用
函数f(x)=x³-3x的极大值是
正确答案: A
解析: f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=±1。x=-1时，f(-1)=-1+3=2为极大值；x=1时，f(1)=1-3=-2为极小值。
8
数学
导数及其应用
函数f(x) = x³ - 3x的极小值为（ ）
正确答案: A
解析: '(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)'(x) = 0 = \pm 1 < -1' > 0$-1 < x < 1' < 0 > 1' > 0 = 1(1) = 1 - 3 = -2
9
数学
导数及其应用
（数模二十二·解答）函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值为
正确答案: B
解析: 本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值。
f(x) = x³ - 3x，x∈[-2,2]
第一步：求导
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x-1)(x+1)
第二步：求驻点
令f'(x) = 0，得x = 1 或 x = -1
都在区间[-2,2]内。
第三步：计算函数值
f(-2) = (-2)³ - 3×(-2) = -8 + 6 = -2
f(-1) = (-1)³ - 3×(-1) = -1 + 3 = 2
f(1) = 1³ - 3×1 = 1 - 3 = -2
f(2) = 2³ - 3×2 = 8 - 6 = 2
第四步：比较得最大值
比较f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2
最大值为2。
故选B。
10
数学
导数及其应用
函数f(x)=x³-3x在x=1处的切线方程是
正确答案: A
解析: f'(x)=3x²-3，f'(1)=0，即切线斜率为0。f(1)=1-3=-2。切线方程为y-(-2)=0(x-1)，即y=-2。