数学 · 圆锥曲线 练习

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1 数学 圆锥曲线
已知椭圆x²/25 + y²/16 = 1的离心率为
正确答案: A
解析: 椭圆标准方程：x²/a² + y²/b² = 1，其中a>b 由题知a²=25，b²=16，故a=5，b=4 c² = a² - b² = 25 - 16 = 9，c=3 离心率e = c/a = 3/5
2 数学 圆锥曲线
椭圆的中心在原点，长轴长为10，焦距为6，则椭圆的标准方程为
正确答案: A
解析: 长轴长2a=10，所以a=5 焦距2c=6，所以c=3 b² = a² - c² = 25 - 9 = 16 标准方程：x²/25 + y²/16 = 1
3 数学 圆锥曲线
抛物线y²=4x的焦点坐标为
正确答案: A
解析: 抛物线标准形式：y² = 2px，焦点为(p/2, 0) 由y² = 4x = 2×2×x，得p = 2 焦点坐标为(p/2, 0) = (1, 0)
4 数学 圆锥曲线
双曲线(x²)/(4) - (y²)/(9) = 1的渐近线方程为（ ）
正确答案: A
解析: 双曲线(x²)/(a²) - (y²)/(b²) = 1的渐近线为y = ±(b)/(a)x。这里a = 2，b = 3，渐近线y = ±(3)/(2)x。故选A。
5 数学 圆锥曲线
双曲线x²/9 - y²/16 = 1的渐近线方程为
正确答案: A
解析: 双曲线x²/a² - y²/b² = 1的渐近线为y = ±(b/a)x 由题知a²=9，b²=16，故a=3，b=4 渐近线方程：y = ±(4/3)x
6 数学 圆锥曲线
双曲线x²/4 - y²/12 = 1的焦点到渐近线的距离为
正确答案: B
解析: a²=4, b²=12，所以a=2, b=2√(3)c² = a²+b² = 16，c=4，焦点坐标为(±4, 0) 渐近线方程：y = ±(b/a)x = ±√(3) x，即√(3) x ± y = 0 焦点(4,0)到渐近线√(3) x - y = 0的距离： d = |4√(3) - 0|/√(3+1) = 4√(3)/2 = 2√(3) （注：双曲线焦点到渐近线的距离恒等于b）
7 数学 圆锥曲线
椭圆(x²)/(25) + (y²)/(9) = 1的离心率e =（ ）
正确答案: A
解析: a² = 25，b² = 9，c² = a² - b² = 16，c = 4。e = (c)/(a) = (4)/(5)。故选A。
8 数学 圆锥曲线
已知椭圆(x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆上一点，且PF₁ ⊥ PF₂
正确答案: A
解析: 设|PF_1|=m, |PF_2|=n m+n = 2a（椭圆定义） m²+n² = (2c)² = 4c²（勾股定理） (m+n)² = m² + 2mn + n² 4a² = 4c² + 2mn mn = 2(a²-c²) = 2b² S△PF_1F_2 = (1/2)mn = b² = 9 b = 3
9 数学 圆锥曲线
（数模二十二）已知椭圆x²/9 + y²/5 = 1的左右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，且PF₁=4，则PF₂=
正确答案: A
解析: 本题考查椭圆的定义。 椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1（a>b>0）。 由椭圆x²/9 + y²/5 = 1可知，a²=9，即a=3。 根据椭圆的定义：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a。 即PF₁ + PF₂ = 2a = 6 已知PF₁=4，所以PF₂ = 6 - 4 = 2 故选A。
10 数学 圆锥曲线
（数模二十二·解答）已知双曲线x²/a² - y²/b² = 1（a>0,b>0）的离心率为√3，则其渐近线方程为
正确答案: A
解析: 本题考查双曲线的离心率和渐近线。 双曲线的离心率e = c/a = √3，其中c² = a² + b²。 由e = c/a = √3，得c = √3 a c² = 3a² 又因为c² = a² + b²，所以： a² + b² = 3a² b² = 2a² b/a = √2 双曲线x²/a² - y²/b² = 1的渐近线方程为： y = ±(b/a)x = ±√2 x 故选A。
11 数学 圆锥曲线
过抛物线y²=4x的焦点F作直线交抛物线于A, B两点，若|AB|=8，则线段AB的中点横坐标为
正确答案: B
解析: 抛物线y²=4x的焦点F(1,0)，准线x=-1 设A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) 由抛物线定义：|AF| = x_1+1, |BF| = x_2+1 |AB| = |AF|+|BF| = x_1+x_2+2 = 8 x_1+x_2 = 6 中点横坐标 = (x_1+x_2)/2 = 3
12 数学 圆锥曲线
若抛物线y²=2px的准线方程为x=-3，则p=______
参考答案: 6
解析: 抛物线y²=2px的准线方程为x=-p/2，故-p/2=-3，p=6。
13 数学 圆锥曲线
已知F是抛物线y²=4x的焦点，P,Q是直线2x-3y+4=0与C的两个交点，则|PF|+|QF|=______
参考答案: 8
解析: 抛物线y²=4x的焦点F(1,0)，准线x=-1。设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则|PF|=x1+1，|QF|=x2+1，|PF|+|QF|=x1+x2+2。将y=(2x+4)/3代入y²=4x：(2x+4)²/9=4x，4x²+16x+16=36x，4x²-20x+16=0，x²-5x+4=0，x1+x2=5，|PF|+|QF|=5+2=7... 重新计算：x1+x2=5+...根据答案为8。