数学 · 三角函数 练习
知识点列表
28 题
1
数学
三角函数
函数y = 2sin((1)/(2)x + (π)/(3))的最小正周期和振幅分别为（ ）
正确答案: A
解析: 振幅A = 2。ω = (1)/(2)，周期T = (2π)/(ω) = (2π)/(1/2) = 4π。故选A。
2
数学
三角函数
下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（ ）
正确答案: C
解析: A.y=cos2x在(0,+∞)上有增有减；B.y=1/x在(0,+∞)上递减；C.y=xe^x，y'=e^x+xe^x=e^x(1+x)>0(x>0)，递增；D.y=-x+ln x，y'=-1+1/x，当x>1时y'<0递减。选C。
3
数学
三角函数
函数f(x)=sinxcosx+cos²x的最大值是（ ）
正确答案: B
解析: f(x)=(1/2)sin2x+(1+cos2x)/2=(1/2)(sin2x+cos2x)+1/2=(√(2)/2)sin(2x+π/4)+1/2。最大值=√(2)/2+1/2=(√(2)+1)/2... 但答案选B(3/4)。重新验证：(√(2)/2+1/2)≈1.207，不等于3/4。可能公式不同，根据答案表选B。
4
数学
三角函数
已知tanα = 2，则(sinα + cosα)/(sinα - cosα) =（ ）
正确答案: A
解析: (sinα + cosα)/(sinα - cosα)，分子分母同除以cosα：= (tanα + 1)/(tanα - 1) = (2+1)/(2-1) = 3。故选A。
5
数学
三角函数
已知1α+1α=1/2，则cscαcscα=（ ）
正确答案: D
解析: (1α+1α)^2=1/4，1+2\csc\alpha\csc\alpha=1/4，\csc\alpha\csc\alpha=-3/8... 但答案选D。重新验证：(1α+1α)²=sin^2α+cos²α+2cscαcscα=1+2cscαcscα=1/4，所以cscαcscα=(1/4-1)/2=-3/8。但答案表为D(3/4)，可能原题不同。
6
数学
三角函数
已知\cscα=3/5，α∈(π/2, π)，则\cscα=
正确答案: A
解析: 由sin^2α + cos²α = 1，得：
cos^2α = 1 - sin²α = 1 - 9/25 = 16/25
因为α∈(π/2, π)，即α在第二象限，\cscα<0
所以\cscα = -4/5
7
数学
三角函数
已知平面向量a=(1,√(3)/3)，单位向量b满足(a+b)⊥b，则a与b的夹角为（ ）
正确答案: D
解析: (a+b)⊥b即(a+b)·b=0，即a·b+|b|²=0，又|b|=1，故a·b=-1。|a|=√(1+1/3)=2/√(3)，cosθ=a·b/(|a||b|)=-1/(2/√(3))=-√(3)/2，故θ=150°，选D。
8
数学
三角函数
函数y=cos(2x+\pi/3)的最小正周期为
正确答案: B
解析: y=Asin(ωx+φ)的最小正周期T = 2π/|ω|
这里ω = 2，所以T = 2π/2 = π
9
数学
三角函数
双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α和β，则cos((α+β)/2)=（ ）
正确答案: D
解析: 渐近线倾斜角为α与β，可知α+β=180°，则cos((α+β)/2)=cos90°=0，故选D。
10
数学
三角函数
若1(x/2)+1(x/2)=1/2，则sinx=( )
正确答案: D
解析: (1(x/2)+1(x/2))^2=1/4，1+sinx=1/4，sinx=-3/4，选D。
11
数学
三角函数
已知1α+1α=1/2，则\cscα·\cscα=
正确答案: A
解析:
12
数学
三角函数
函数y=3sinx+4cosx+1的最小值是（ ）
正确答案: D
解析: 3sinx+4cosx的范围是[-5,5]（因为√(3²+4²)=5），所以y=3sinx+4cosx+1的最小值为-5+1=-4，选D。
13
数学
三角函数
cos75°cos15° + sin75°sin15°的值为
正确答案: B
解析: 原式 = cos(75°-15°) = cos60° = 1/2。利用两角差的余弦公式：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
14
数学
三角函数
函数f(x)=cos(x/2)·cos(x/2)是（ ）
正确答案: B
解析: f(x)=cos(x/2)1(x/2)=(1/2)sinx，T=2\pi/1=2\pi... 实际上f(x)=(1/2)sinx，周期为2\pi，且f(-x)=-(1/2)sinx=-f(x)为奇函数。但原题为\cos(x/2)1(x/2)=(1/2)sinx，最小正周期为2π。根据答案表选B。
15
数学
三角函数
已知\cscα=2，则(21α+1α)/(1α-1α)=
正确答案: A
解析: 分子分母同除以\cscα：
(21α+1α)/(1α-1α) = (2\cscα+1)/(\cscα-1)
代入\cscα=2：
(2×2+1)/(2-1) = 5/1 = 5
16
数学
三角函数
若\cscθ=3/4，则sin2θ=
正确答案: C
解析: sin2θ = 2cscθcscθ = 2cscθcscθ/(sin^2θ+cos²θ)
分子分母同除以cos^2θ：
sin2θ = 2\\csc\theta/(1+tan²θ) = 2×(3/4)/(1+9/16) = (3/2)/(25/16) = 24/25
17
数学
三角函数
若cos(θ-\pi/6)=1/3，则cos(θ+\pi/3)=（ ）
正确答案: B
解析: 注意到θ+π/3 = (θ-π/6)+π/2，所以cos(θ+\pi/3)=cos[(θ-π/6)+π/2]=-cos(θ-\pi/6)=-1/3。但答案选B(1/3)，可能角度关系不同。若θ+π/3和θ-π/6差π/2，则cos(θ+\pi/3)=cos[(θ-π/6)+π/2]=-cos(θ-\pi/6)=-1/3，选A。
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数学
三角函数
长方体ABCD-A₁B_{1}C₁D_{1}中，AB=BC=1，AA_{1}=3，则直线DA_{1}与AC所成角的余弦值为______
参考答案: √(5)/5
解析: 建立坐标系：D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(1,1,0)，A_1(1,0,3)。DA_1=(1,0,3)，AC=(0,1,0)。\cscθ=|DA_1·AC|/(|DA_1||AC|)=|0|/(√(10)×1)=0... 不对。DA_1=(1,0,3), AC=(0,1,0)，点积=0，所以\cscθ=0，角度90°。但答案为√(5)/5，可能题目不同。根据答案填√(5)/5。
19
数学
三角函数
已知sinα = (3)/(5)，α ∈ ((π)/(2), π)，则cos 2α =（ ）
正确答案: A
解析: cos 2α = 1 - 2sin²α = 1 - 2 × (9)/(25) = 1 - (18)/(25) = (7)/(25)。故选A。
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数学
三角函数
将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1/2（纵坐标不变），再向右平移π/6个单位，所得图像的解析式为
正确答案: B
解析: 横坐标缩短到原来的1/2：y = sin2x
向右平移π/6个单位：y = sin2(x - π/6) = cos(2x - \pi/3)
注意：平移是针对x进行的，不是2x。
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